Por qué todos los triángulos son isósceles

Demostración Consideremos el triángulo ABC (figura (a)). Tracemos la bisectriz de A. Sea X el punto medio de BC. Por X se traza una perpendicular a BC (mediatriz de BC). Sea P la intersección de la bisectriz de A con la mediatriz de BC.

Desde P se traza una perpendicular a AB, que corta a este lado en Z, y otra perpendicular a AC, que corta a éste en Y. Unamos P con B y P con C (figura (b)).

1. APZ y APY son triángulos congruentes, puesto que tienen el lado AP en común y ang(AZP)=ang(AYP), ang(ZAP)=ang(YAP). Luego AZ=AY y ZP=YP.
2. PXB y PXC son congruentes (el lado PX es común y XD=XC, ang(PXC)=ang(PXB) ). Por tanto, PB=PC.
3. ZPB y YPC son congruentes, puesto que PB=PC (de 2), ang(BZP)=ang(CYP), y PZ=PY (de 1). Por lo tanto, BZ=CY.

De 1 y 3 se deduce que BZ+ZA=CY+YA, lo que equivale a AB=AC, qed.

Corolario Todos los triángulos son equiláteros. La demostración se deja al lector interesado.

Gracias a Tony Davie.